Đại số tuyến tính và đại số giao hoán

Góc Euler cho thấy mối liên hệ giữa các hệ tọa độ khác nhau, như cơ sở của R3. Chúng được sử dụng trong đồ họa máy tính.

Nếu a ≠ 0, thì phương trình

ax = b

có nghiệm duy nhất x thuộc F, đó là x = b/a. Hệ quả của định nghĩa của trường là một thành phần quan trọng để cho thấy bất kỳ không gian vectơ nào cũng có một cơ sở.[49] Nói đơn giản, điều này cho phép ta chọn một hệ tọa độ trong một không gian vectơ bất kỳ, điều vô cùng quan trọng trong đại số tuyến tính về cả lý thuyết lẫn ứng dụng.

Môđun (khái niệm tương tự với không gian vectơ) trên hầu hết vành, bao gồm vành số nguyên Z, có cấu trúc phức tạp hơn. Một trường hợp đặc biệt nảy sinh khi một vành R là một không gian vectơ trên trường F. Những trường như thế được gọi là F-đại số và được nghiên cứu kỹ càng trong đại số giao hoán. Ví dụ, bổ đề chuẩn hóa Noether khẳng định rằng bất kỳ F-đại số hữu hạn sinh có liên hệ mật thiết (chính xác hơn, là một môđun sinh hữu hạn trên) một vành đa thức F[x1, ..., xn].[50]

Trường hữu hạn: mật mã và lý thuyết mã hóa

Tổng của ba điểm P, Q, và R trên đường cong elliptic E (đỏ) bằng không nếu tồn tại một đường thẳng (xanh) đi qua các điểm đó.

Một thuật toán mã hóa được áp dụng rộng rãi dựa trên một sự thật cơ bản, đó là tính lũy thừa rời rạc

an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (n thừa số, với số nguyên n ≥ 1)

trong một trường hữu hạn Fq (lớn) có thể được thực hiện nhanh hơn rất nhiều so với lôgarit rời rạc, tương đương với phép toán ngược lại, tức là xác định nghiệm n của phương trình

an = b.

Trong mật mã đường cong elliptic, phép nhân trong một trường hữu hạn được thay thế bằng phép cộng các điểm trên một đường cong elliptic, một đường cong định nghĩa bởi phương trình

y2 = x3 + ax + b.

Trường hữu hạn cũng được sử dụng trong lý thuyết mã hóa và tổ hợp.

Hình học: trường các hàm số

Một mặt Riemann compact với giống (genus) 2. Giống có thể được tính từ trường các hàm phân hình trên mặt.

Hàm số trên một không gian tôpô thích hợp X vào một trường k có thể được cộng và nhân tại từng điểm, ví dụ, tích của hai hàm số được định nghĩa là tích từng giá trị của chúng trong tập xác định:

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x).

Điều này khiến những hàm này là một k-đại số giao hoán.

Để có một trường các hàm số, cần phải xét những đại số của hàm là miền nguyên. Trong trường hợp này tỉ số của hai hàm số, có dạng

f ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}

tạo thành một trường, gọi là trường các hàm số.

Nếu X là một đa tạp phức, ta xét đại số của những hàm chỉnh hình, những hàm khả vi phức. Tỉ số của chúng tạo thành trường các hàm phân hình trên X.

Trường hàm của một đa tạp đại số X (một vật thể hình học gồm những nghiệm chung của các phương trình đa thức) gồm tỉ số của những hàm chính quy, tức tỉ số các hàm đa thức trên đa tạp. Trường hàm của không gian n chiều trên một trường k là k(x1, ..., xn). Trường hàm của X bằng với trường hàm của một đa tạp con trù mật mở. Nói cách khác, trường hàm không thay đổi thi thay X với một đa tạp con nhỏ hơn.

Lý thuyết số: trường toàn cục

Trường toàn cục là trung tâm của lý thuyết số đại số và hình học số học.Theo định nghĩa, trường toàn cục là những trường số (mở rộng hữu hạn của Q) hoặc trường hàm trên Fq (mở rộng hữu hạn của Fq(t)). Hai loại trường này có chung một số tính chất, mặc dù chúng có đặc số lần lượt là 0 và dương. Sự tương quan giữa hai trường này giúp hình thành các phỏng đoán toán học, thường là hiểu bản chất của trường các hàm trước rồi xét đến trường số. Ví dụ, giả thuyết Riemann liên quan đến các nghiệm của hàm zeta Riemann (chưa được chứng minh đến năm 2019) có thể được xem là tương quan với giả thuyết Weil (được chứng minh năm 1974 bởi Pierre Deligne).

Các nghiệm đơn vị cấp năm tạo thành một ngũ giác đều.

Trường chia đường tròn là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều nhất trong lý thuyết số. Chúng có dạng Q(ζn), trong đó ζn là một nghiệm đơn vị nguyên thủy bậc n, một số phức thỏa ζn = 1 và ζm ≠ 1 với mọi m < n.[51] Trong trường hợp n là một số nguyên tố chính quy, Kummer sử dụng trường chia đường tròn để chứng minh định lý lớn Fermat, khẳng định không tồn tại nghiệm nguyên khác không của phương trình

xn + yn = zn.

Trường địa phương là hoàn thành của trường toàn cục. Định lý Ostrowski khẳng định rằng những hoàn thành duy nhất của trường toàn cục Q là các trường địa phương Qp và R. Những câu hỏi số học trong trường toàn cục đôi khi được giải quyết bằng cách nhìn từ góc độ địa phương. Kỹ thuật này được gọi là nguyên lý địa phương-toàn cục. Ví dụ, định lý Hasse–Minkowski thu gọn bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai xuống còn giải những phương trình đó trong R và Qp, với nghiệm có thể được dễ dàng nghiên cứu.[52]

Không như trường địa phương, nhóm Galois của trường toàn cục chưa được biết đến. Bài toán Galois nghịch đặt câu hỏi liệu mọi nhóm hữu hạn có phải là nhóm Galois Gal(F/Q) của một trường số F nào đó.[53] Lý thuyết trường các lớp mô tả các mở rộng abel, những mở rộng với nhóm giao hoán Galois. Định lý Kronecker–Weber, mô tả những mở rộng abel Qab cực đại của Q: trường

Q(ζn, n ≥ 2)

nhận được bằng cách thêm tất cả nghiệm đơn vị nguyên thủy cấp n. Bài toán thứ mười hai của Hilbert yêu cầu một mô tả cụ thể của Fab của một trường số F nói chung. Với các trường bậc hai ảo, F = Q(√−d), d > 0, có thể mô tả Fab sử dụng đường cong elliptic. Trong trường hợp trường số tổng quát, bài toán vẫn chưa được giải quyết.